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数学入门的一点东西,你可能就没学过数学

  作者:刘学军
  签名:这个世界的美妙之处在于,只要努力,什么都能得到!书读得少,文笔很差,千万别到处传播。

文章更新时间:2018/1/23 23:26:49


前天在医院见一位10岁男孩住院,在大学教授级父母的逼迫下写作业,当他写数学作业时,我调侃到“你可能就没学过数学,包括你父母,除非把 0.999 (9循环)= 1 证明出来”。

 

这是我在初中时碰到的问题,当时的证明方法是:

因为 0.333 = 1/3

等式两边同时乘以3就有0.333* 3 = 1/3 * 3

所以0.999= 1

 

能用到上面的方法,说明这人会想办法,但还是没有跨入数学之门。

因为,0.333= 1/3 既不是公理也不是定律,它本身就需要被证明。

 

所以0.999= 1的证明方法是这样的:

假设等式 ①成立  0.999= X

两边同时乘以10,则有9.99= 10X

两边与等式相减就有9.99- 0.999= 10X – X

得到 9 = 9X

所以 1 = X

即 0.999= 1

 

用这种方法,我们还能理解更有趣的数学现象,比如说无理数,所谓无理数,就是它的小数部分是无限不循环的,意味着人类永远也无法把它书写完整。这是非常古老的发现,真是没办法想象他们怎么可能遇到无理数的!就是现在,绝多数人都认为无理数是不存在的。

现在我们就来证明无理数的存在。

首先,"有理数的小数部分是有限的,或是无限循环的",比如0.999就是无限循环小数.

只要小数部分是有限的,比如小数部分有N位,把这个数乘以 10N/10N,那么分子和分母都变成整数了,再把分子和分母的公约数都除掉,那么它就可以表示为一个分子同分母互质的分数。比如 0.88 = 88/100= 22/25,22与25互质,

同理,如果小数部分是无限循环的,我们也可以用一个分子同分母互质的分数来表示。比如证明0.123123123可以用"分子同分母互质的分数"来表示。

假设等式①成立 0.123123123 = X

则有0.123123123 * 1000 = 1000 X

即123.123123= 1000 X

同等式①两边同时相减,得到123 = 999 X

所以 X = 123/999 = 41/333

即0.123123123= 41/333

 

用这种两边同时乘以10N的方法(八进制则8N),很容易就可以证明“有理数都可以用"分子同分母互质的分数"来表示”。

 

现在我们可以证明最古老的√2是无理数了,这个数出自勾股定律,即等边直角三角形的斜边长度,它是实实在在存在的。

 

假设√2是有理数.

那么就有 √2 = M/N,其中M/N是互质的整数.

两边同时平放,得2 = M2/N2, 2N2 = M2,所以M为偶数,那么M可以表示为2k。

即2N2 = (2k)2 = 4K2,得N2 = 2K2,所以N为偶数。

M与N有公约数2,不是互质的,这与M同N是互质的相矛盾。

所以√2不是有理数, 它是无理数.


2 = 1.414213562373095…, 这样的无限不循环的数是存在的,它是无理数,我们无法找出循环节!

 

这个世界里有很多无理数,比如圆周率 π,数学常数e,万有引力常数G,光速c 等.

 

 

我们用等式两边同时乘以10N,就能得到这么多令人咂舌的结论。

现在,你敢肯定自己学了数学,已经跨入了数学之门么!

 

之所以写这个玩意儿,是觉得小孩子学习太累了,同时也没有学到什么东西,绝多数的人是没有天赋的,如其背诵好乘法口诀、解方程式,不如用好计算机。


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当老年人说年轻人都被计算机坑害了的时候,我倒想对这些老人说,“你们终其一生学到的知识也顶不上一个10元的计算器好用,如果硬是要说那点知识值好多钱,我看没人愿意花一分钱去买” ----- 一个否定高效工具的认知体系,其本身就是就是残缺的 。

 

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